Расширение группы и ее автоморфизмы

 Для произвольной группы G рассмотрим группу S, удовлетворяющую следующим условиям:

1. G нормальная подгруппа в S.
2. Централизатор $C_{S}(G)$ лежит в G.  

Обозначим Z = Z(G) - центр группы G.

Так как $Z = C_{S}(G) \cap G$, то $Z = C_{S}(G)$

Централизатор $Z = C_{S}(G)$ нормален в нормализаторе $N_{S}(G)$, который в свою очередь совпадает с S, так как G - нормальна в S. Значит Z - нормальная подгруппа в S.

Действие сопряжением S в G индуцирует гомоморфизм $\phi$ из S в группу $Aut G$ - автоморфизмов G.

$\phi:s\mapsto{\iota}_s$, где ${\iota}_s\in Aut G$ и ${\iota}_s(g) = sgs^{-1}$

Ядро $ker\ \phi = Z$, таким образом $S/Z\simeq K\leqslant Aut\ {G}$, где $K=Im\ \phi$ - образ гомоморфизма.

$\phi(G)\simeq\ Inn\ G$ - элементы G соответствуют внутренним автоморфизма и $Inn\ G\unlhd {K}$.

Если G конечная группа, то можно оценить порядок S сверху (снизу он делится на порядок G):

 $S/Z\simeq K\leqslant Aut\ {G}\leqslant S_{n-1}$

$\frac{|S|}{|Z|}=|K| =\frac{|Aut\ {G}|}{\left [Aut\ {G}:K \right ]}$ $|S|=\frac{|Aut\ {G}||Z|}{\left [Aut\ {G}:K \right ]}$

$|Z|=\frac{|G|}{\left [G:Z \right] }$

$|Aut\ {G}| = \frac{|S_{n-1}|}{\left [S_{n-1}:Aut\ {G}\right ]}$

$|S|=\frac{|S_{n-1}||G|}{\left [Aut\ {G}:K \right ]\left [S_{n-1}:Aut\ {G} \right ]{\left [G:Z \right] }}$

$|S_{n-1}||G|=(n-1)! n = n!$ 

Порядок S делит n!

Вопрос: всегда ли можно для любой группы G построить группу S, удовлетворяющую условиям выше и такую, что ее образ при гомоморфизме в действие сопряжением даст всю группу автоморфизмов G? В таком случае для конечных групп это будет наибольшая группа, удовлетворяющая этим условиям (наименьшая такая группа это S=G).

Для группы G c тривиальным центром это так. В качестве S берем $Aut\ G$, тогда ее нормальная подгруппа $Inn\ G\ \simeq{G}$.

Для абелевой группы это тоже верно - в качестве S берем голоморф группы G.